Giá trị cực trị của hàm số là bao nhiêu? Đây là một phần lý thuyết thực sự tốt và nó cũng quan trọng đối với bạn. Nhất là khi nó sẽ hiển thị trong đề thi THPT quốc gia của bạn. Vì vậy, đòi hỏi bạn phải có kiến ​​thức để giải cả những bài toán dễ và khó.

cuc-tri-a7-athenacomplex

Hãy cùng chúng tôi theo dõi nội dung bài viết này, nó sẽ mang lại cho bạn nhiều giá trị nhất!

Giá trị cực trị của hàm số là bao nhiêu?

Giả sử hàm f được xác định trên K (K ℝ) và x0 K

a) Nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f (x) <f (x0), ∀ x ∈ (a; b) thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f \ {x0}

→ thì f (x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f

b) Nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f (x)> f (x0), ∀ x ∈ (a; b) \ {x0}

→ thì f (x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f

cuc-tri-a6-athenacomplex

chú ý:

  1. Điểm cực đại (cực tiểu) x0 gọi chung là điểm cực trị. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f (x0) được gọi là cực trị. Hàm số có thể có giá trị cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.
  2. Nói chung, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f (x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f (x0) chỉ là giá trị lớn nhất của hàm số f trên khoảng (a; b) chứa x0 (tối thiểu)
  3. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f (x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

cuc-tri-a5-athenacomplex

Điều kiện đủ và cần thiết để hàm số có cực trị

Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 1:

f (x) có cực đại tại x0 và đạo hàm tại x0 thì f ‘(x0) = 0

ghi chú:

  • ) và ngược lại. Đạo hàm f ‘có thể bằng 0 tại x0, nhưng hàm f không có cực đại tại x0.
  • ) Một hàm số có thể có giá trị lớn nhất tại điểm mà hàm số đó không có đạo hàm.

Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

  • Định lý 2:
  • Theo lý thuyết:
  • Hình ảnh minh họa dễ hiểu bằng bảng:

a) Nếu dấu của f ‘(x) chuyển từ âm sang dương (theo chiều tăng) khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x0

cuc-tri-a4-athenacomplex

b) Nếu f ‘(x) chuyển từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt giá trị cực đại tại x0

cuc-tri-a3-athenacomplex

Định lý 3:

– Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f ‘(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f ” (x0) <0 thì hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại x0.

b) Nếu f ” (x0)> 0 thì hàm số f đạt giá trị nhỏ nhất tại x0.

c) Nếu f ” (x0) = 0 thì ta chưa thể kết luận được và cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của đạo hàm.

Quy tắc tìm giá trị cực trị của hàm số

  • Quy tắc một:
  • ) Bước 1: Tìm tập xác định.

+) Bước 2: Tính y ‘= f’ (x). Tìm x khi f ‘(x) = 0 hoặc khi f’ (x) chưa biết.

+) Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.

+) Bước 4: Lập bảng biến thiên.

  • ) Bước 5: Tìm các điểm cực trị.
  • Quy tắc hai
  • ) Bước 1: Tìm tập xác định.

+) Bước 2: Tính y ‘= f’ (x). Giải phương trình f ‘(x) = 0 để tìm các nghiệm nguyên x1, x2,… (nếu có).

+) Bước 3: Tính f ” (x) và suy ra f ” (x1), f ” (x2),,…

+) Bước 4: Rút ra kết luận từ các kí hiệu f ” (x1), f ” (x2),….

Một ví dụ mô tả chi tiết cách tìm cực trị của một hàm

Ví dụ 1: Tìm điểm cực đại x0 của hàm số y = x3 – 3x +1.

  • A. x0 = 2
  • B. x0 = 1
  • C. x0 = -1
  • D. x0 = 3
  • Hướng dẫn giải:
  • ) Bước 1: Tìm tập xác định.
  • Xác định tập hợp: D = ℝ.
  • ) Bước 2: Tính đạo hàm
  • Đạo hàm: y ‘= 3×2 – 3

cuc-tri-a2-athenacomplex

So sánh chức năng của phương pháp tap 1 ===> Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.

+) Bước 4: Lập bảng biến thiên.

cuc-tri-a1-athenacomplex

==> Theo bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x0 = -1.

Lưu ý: Chúng tôi chỉ nêu ra các bước để bạn có thể hiểu rõ ràng từng bước để xác định các trường hợp nguy hiểm của vấn đề. Trong quá trình demo, bạn không cần chỉ định những gì cần làm trong bước 1 và những gì cần làm trong bước 2.

Hy vọng bài viết này mang đến cho bạn những nội dung thú vị, bổ ích và giúp bạn làm được các bài tập về cực trị. Cảm ơn các bạn đã quan tâm đến bài viết này, hẹn gặp lại các bạn trong bài viết lần sau!